20년 넘게 세계인의 사랑을 받아온 ‘미션 임파서블’ 시리즈는 첩보 요원인 이선 헌트(톰 크루즈)가 악당의 계획을 저지하기 위해 고군분투하는 내용을 담고 있습니다. 가장 최신 편인 ‘폴아웃’에서는 생사를 넘나드는 고생 끝에 핵무기를 소지하려는 테러 조직을 막았습니다. 그런데 주인공 이선 헌트가 수학을 알았더라면 훨씬 수월하게 미션을 완료했을 겁니다.
지난 4월 21일 스리랑카에서 끔찍한 테러 사건이 일어났습니다. 부활절을 맞아 종교행사를 진행하고 있던 전국 8개 지역에서 동시다발적으로 발생한 폭탄 테러였습니다. 이 사건으로 290여 명이 사망했으며 500명 이상이 크게 다쳤습니다. 그런데 5월 12일 서아프리카 부르키나 파소에서 또 한 번 총기 난사 테러 사건이 일어나 사람들은 놀란 가슴을 쓸어내려야 했습니다. 구출된 사람 중에는 한국인도 있었습니다.
지구촌 전체의 문제로 발전하는 테러 조직을 막기 위해 많은 사람이 애쓰는 가운데, 수학으로 범죄에 맞서려는 사람들이 있습니다. 언뜻 생각하기에 특수요원과 수학은 거리가 멀어 보이지만 사실 많은 수학자와 컴퓨터과학자가 테러에 맞서기 위한 연구를 진행하고 있습니다.
수학자들은 총과 칼 대신 방정식과 알고리듬 등의 수학적 도구를 사용해 테러리스트의 행동을 예측하거나 정보를 수집합니다. 또 테러 조직이 보이는 패턴을 예측하고 어떻게 조직을 파괴할 수 있을지 힌트를 제공합니다. ‘테러를 막는 수학’은 단순히 이론적인 단계에 그치지 않고 실제 미국 수사기관이 조직을 검거하는 데 쓰이고 있습니다.
그중 조너선 팔리 미국 모건주립대 수학과 교수는 테러를 막는 수학을 연구하고 있습니다. 미국 중앙정보국(CIA), 자메이카 국가안보부와 협력 관계를 맺고 이 다섯 차례 ‘테러에 대항하는 수학적·컴퓨터 과학적 방법론 학회'를 공동 주관하기도 했습니다.
팔리는 격자 이론과 그래프 이론을 주로 연구하는 순수수학자로, 미국 뉴스 채널인 ‘폭스 뉴스’와의 인터뷰에서 “내가 공부한 것으로 어떻게 사람의 생명을 구할 수 있을지 고민하다가 아이디어를 떠올리게 됐다”며 대수학으로 테러를 잡는 방법을 설명했습니다. 어떻게 수학이 테러 조직의 계획을 막을 수 있는 걸까요?
연결고리를 끊어라
팔리가 제시한 방법의 핵심은 테러리스트 단체의 네트워크를 깨는 것입니다. 혼자만의 생각으로 단독 범행을 일으키는 경우도 있지만, 대형 테러는혼자 힘으로 벌이기 쉽지 않습니다. 따라서 보통 테러리스트는 조직을 이뤄 작전을 실행합니다. 이 조직원들은 여러 지역에 퍼져있고 통신을 주고받으며 수장의 지시를 받아 행동 요원이 실제 테러를 일으킵니다. 만약 정보를 수집해서 테러 조직이 어떻게 구성됐는지 아는 상황이라면 테러를 막을 가장 좋은 방법은 무엇일까요?
큰 단체일수록 모든 조직원을 동시에 검거하기란 매우 어렵고, 어설프게 실패할 경우 오히려 테러리스트를 자극해 테러를 앞당길 수도 있습니다. 또한 말단 조직원을 검거하는 것과 수장에 가까운 조직원을 검거하는 것에는 서로 다른 비중의 시간과 노력이 들어갈 확률이 높습니다.
따라서 테러 조직의 계획이 서로에게 전달되지 못하도록 네트워크 자체를 파괴하는 것이 훨씬 중요합니다. 그리고 복잡하게 연결된 그래프에서 어느 지점을 끊어야 가장 적은 노력으로 확실하게 네트워크를 붕괴할 수 있는지 찾아내는 것이 바로 수학의 능력입니다!
부분 순서 집합으로 조직 붕괴 확률 계산하기
테러 조직의 네트워크를 무너뜨리기 위해서는 먼저 ‘부분 순서 집합’이라는 개념을 알아야 합니다. 부분 순서 집합이란 원소의 일부만 순서가 있는 집합을 말합니다. 예를 들어 오른쪽 그림처럼 A에서 물을 내려보내 잔디밭에 물을 준다고 할 때, 물은 A에서 B로 가고 B에서 D로는 가지만 그 반대로 거슬러 올라가진 못합니다. 그러니까 A, B, D는 A→B→D라는 순서가 있는 셈입니다.
그럼 B와 C는 어느 쪽이 순서가 앞일까요? 이 둘은 서로 별개 방향의 꼭지이므로 순서를 비교할 수 없습니다. 이처럼 순서가 있는 원소들과 순서가 없는 원소들이 섞여 있는 집합이 부분 순서 집합입니다.
테러 조직 역시 수장과 부하 조직원으로 이뤄진 부분 순서 집합으로 나타낼 수 있습니다. 그림에서 A부터 순서를 따라 내려가면 최종적으로 잔디밭에 물을 주게 되는 것처럼, 테러 조직도 A에서 말단 조직원까지 지시가 도달하면 테러가 일어나게 됩니다. 이때 다음 식을 사용하면 각 점의 조직원을 검거하는 데 따른 네트워크 붕괴 확률을 계산할 수 있답니다!
절단 집합을 찾아라
확률을 구하는 식에 들어간 ‘절단 집합’을 설명하기 위해 잔디에 물을 주는 상황으로 돌아가겠습니다. 물이 잔디밭에 도달하지 못하게 하려면 어느 꼭지를 잠가야 할지 선택하는 겁니다. 1개만 잠가서 도달하지 못하게 하려면 A를 잠그면 되고 2개를 잠근다면 A와 아무 다른 꼭지를 선택하거나 B, C를 선택하면 됩닌다. 이처럼 k에 대한 절단 집합은 정보 전달을 차단할 수 있는 k개의 원소를 고르는 집합입니다.
같은 원리로 물을 명령, 잔디밭을 테러 범행이라고 하면 테러 조직에도 그대로 적용할 수 있습니다. 수도꼭지 연결 그래프처럼 15명으로 이뤄진 테러 조직에서 4명을 잡아 테러 계획을 막을 수 있는 확률을 계산해보겠습니다.
부분 순서 집합에 따라 4명을 검거하면 약 33.3%의 확률로 테러 계획을 저지할 수 있는 겁니다. 이 방법을 쓰면 아무리 복잡하고 많은 사람으로 이뤄진 단체라도 계획을 차단할 확률을 계산할 수 있습니다.
참고자료
-Jonathan Farley ‘Breaking Al Qaeda Cells: A Mathematical Analysis of Counterterrorism Operations(A Guide for Risk Assessment and Decision Making)’,
-Jonathan Farley ‘How Al Qaeda Can Use Order Theory to Evade or Defeat U.S. Forces: The Case of Binary Posets’,
-Laura Sanders ‘Mathematics offers innovative weapons for fighting terrorism’
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